S1-402 – Das Unmodellierbare

Chaos, Zufälligkeit und die Grenzen der Vorhersage

Am Morgen des 15. Oktober 1987 sendete Michael Fish, ein leitender Meteorologe bei der BBC, folgende beruhigende Worte an die britische Öffentlichkeit: „Anscheinend hat heute früh eine Frau bei der BBC angerufen und gesagt, sie habe gehört, dass ein Hurrikan im Anmarsch sei. Nun, falls Sie zuschauen: Machen Sie sich keine Sorgen, es gibt keinen.“ In dieser Nacht traf der Große Sturm von 1987 Südengland und Nordfrankreich mit Windgeschwindigkeiten von über 100 Meilen pro Stunde (ca. 161 km/h) – es war der heftigste Sturm, der die Region seit fast drei Jahrhunderten heimgesucht hatte. Achtzehn Menschen kamen ums Leben. Fünfzehn Millionen Bäume wurden entwurzelt. Die Versicherungsschäden beliefen sich auf Milliarden Pfund. Die den Meteorologen zur Verfügung stehenden Modelle hatten den Sturm nicht vorhergesagt. Der Sturm hatte sich schneller entwickelt, als die Modelle ihn verfolgen konnten – und zwar ausgehend von Bedingungen, die die Modelle als harmlos eingestuft hatten. Michael Fish war nicht inkompetent. Die Modelle waren nicht primitiv. Das modellierte System – die Atmosphäre über dem Nordatlantik – verhielt sich einfach auf eine Weise, die im tiefsten Sinne des Wortes außerhalb der Reichweite der verfügbaren Vorhersagen lag.

Der Sturm von 1987 wird oft als Beispiel für ein Versagen der Vorhersage angeführt, als eine Blamage, die durch bessere Modelle, mehr Daten und schnellere Computer behoben werden müsse. Das ist teilweise richtig: Die Wettervorhersage hat sich seit 1987 erheblich verbessert, und moderne Vorhersagemodelle hätten mehrere Tage im Voraus vor dem „Great Storm“ gewarnt. Doch diese Verbesserung stößt an Grenzen. Es gibt eine Obergrenze für die Vorhersagbarkeit atmosphärischer Systeme – keine Obergrenze, die durch die Einschränkungen aktueller Computer oder aktueller Modelle gesetzt wird, sondern eine Obergrenze, die durch die Mathematik der Systeme selbst vorgegeben ist. Manche Dinge sind nicht deshalb unvorhersehbar, weil uns die Werkzeuge zu ihrer Vorhersage fehlen, sondern weil Unvorhersehbarkeit ein strukturelles Merkmal der Systeme ist, die sie hervorbringen.

Dieser Artikel untersucht zwei unterschiedliche und grundlegend verschiedene Ursachen dieser Unvorhersehbarkeit – Chaos und Zufälligkeit – und argumentiert, dass das Verständnis des Unterschieds zwischen ihnen zu den praktisch wichtigsten Erkenntnissen gehört, die ein gebildeter Mensch über die Grenzen von Modellen wissen kann.

Zwei Arten von Unvorhersehbarkeit

Die Unterscheidung zwischen Chaos und Zufälligkeit ist im allgemeinen Sprachgebrauch häufig verschwommen, wo beide Begriffe synonym verwendet werden, um „ungeordnet“ oder „schwer vorhersehbar“ zu bedeuten. Die Unterscheidung ist jedoch präzise und wichtig, und die beiden Phänomene haben vollkommen unterschiedliche Auswirkungen darauf, was Modelle leisten können und was nicht.

Zufälligkeit im engeren Sinne ist das Fehlen jeglicher kausaler Bestimmung eines Ergebnisses. Ein wirklich zufälliges Ereignis hat keine vorhergehende Ursache, die, wäre sie bekannt, eine Vorhersage des Ereignisses ermöglichen würde. Das Ergebnis ist nicht bloß unbekannt; es ist prinzipiell und nicht nur praktisch unerkennbar, da es keine Feststellung darüber gibt, wie es ausfallen wird, bis es eintritt. Zufälligkeit in diesem strengen Sinne findet sich, soweit das derzeitige Verständnis der Physik reicht, auf der Quantenebene: der genaue Zeitpunkt, zu dem ein radioaktives Atom zerfällt, die genaue Richtung, in die ein Photon gestreut wird, das genaue Ergebnis bei der Messung eines Quantensystems. Diese Ereignisse sind nicht deshalb zufällig, weil uns die Informationen fehlen, um sie vorherzusagen. Sie sind zufällig, weil die Quantenmechanik – die am besten bestätigte Theorie in der Geschichte der Physik – uns sagt, dass keine zusätzlichen Informationen sie vorhersehbar machen könnten. Das Universum ist auf Quantenebene wirklich und irreduzibel stochastisch.¹

Chaos ist etwas vollkommen anderes. Ein chaotisches System ist deterministisch: Sein zukünftiger Zustand wird vollständig durch seinen aktuellen Zustand bestimmt, und es gibt im Prinzip eine korrekte Vorhersage für alles, was es tun wird. Was chaotische Systeme in der Praxis unvorhersehbar macht, ist eine extreme Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen: Winzige Unterschiede im Ausgangszustand des Systems – Unterschiede, die viel zu klein sind, um mit verfügbaren Instrumenten gemessen zu werden – führen zu enormen Unterschieden im zukünftigen Verhalten des Systems, und diese Unterschiede wachsen exponentiell mit der Zeit. Die Atmosphäre ist ein chaotisches System. Befände sich die Atmosphäre heute in genau demselben Zustand wie zu einem früheren Zeitpunkt, würde sie sich auf genau dieselbe Weise entwickeln, und es würde dasselbe Wetter folgen. Doch die Atmosphäre befindet sich niemals in genau demselben Zustand: Es gibt immer Unterschiede, seien sie noch so gering, und diese Unterschiede verstärken sich im Verlauf der Entwicklung des Systems, bis die Vorhersagen, die auf leicht unterschiedlichen Anfangszuständen basieren, völlig voneinander abweichen. Die Unvorhersehbarkeit des Wetters liegt nicht daran, dass das Wetter zufällig ist. Sie liegt daran, dass das Wetter chaotisch ist.²

Diese Unterscheidung ist von enormer Bedeutung für die Schlussfolgerungen, die wir aus der Tatsache der Unvorhersehbarkeit ziehen sollten. Quanten-Zufälligkeit ist irreduzibel: Keine Verbesserung der Messtechnik, keine Steigerung der Rechenleistung, keine Verfeinerung der Theorie kann das spezifische Ergebnis eines Quantenereignisses vorhersehbar machen, da es keine objektive Feststellung über das Ergebnis gibt, die eine bessere Theorie oder ein besseres Instrument erfassen könnte. Chaotische Unvorhersehbarkeit ist im Prinzip reduzierbar (könnten wir die Anfangsbedingungen mit beliebiger Genauigkeit messen und mit beliebiger Geschwindigkeit berechnen, wären chaotische Systeme vollkommen vorhersagbar), doch ist diese Reduktion in der Praxis unmöglich, da die erforderliche Genauigkeit exponentiell mit dem Vorhersagehorizont zunimmt. Jenseits eines bestimmten Zeithorizonts übersteigt die erforderliche Genauigkeit alles, was mit einem denkbaren Instrument verfügbar oder erreichbar ist.

Der Schmetterlingseffekt und seine Folgen

Die chaotische Empfindlichkeit atmosphärischer Systeme wurde erstmals Anfang der 1960er Jahre vom Meteorologen Edward Lorenz mathematisch charakterisiert. Lorenz führte eine Computersimulation der atmosphärischen Konvektion durch – ein vereinfachtes Modell der Strömungsdynamik, die dem Wetter zugrunde liegt –, als er eine Beobachtung machte, die die Geschichte sowohl der Meteorologie als auch der Mathematik veränderte. Er hatte eine Simulation unterbrochen und von der Mitte aus neu gestartet, um die zweite Hälfte eines bereits durchgeführten Laufs zu reproduzieren. Um Zeit zu sparen, gab er die Startwerte von Hand aus einem Ausdruck ein und tippte 0,506 für einen Wert ein, den der Computer intern als 0,506127 gespeichert hatte. Die Differenz betrug weniger als ein Tausendstel. Die Simulation wich innerhalb kurzer Zeit dramatisch vom Original ab und erzeugte ein vollkommen anderes Verhaltensmuster.

Lorenz erkannte, dass es sich hierbei nicht um einen Rechenfehler handelte. Es war eine grundlegende Eigenschaft des Systems, das er modellierte: Kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen führten zu großen Unterschieden in den Ergebnissen, und das Wachstum verlief exponentiell. Das Phänomen erhielt den Namen, der es berühmt gemacht hat – den Schmetterlingseffekt –, aus dem Titel einer Arbeit von 1972, in der Lorenz fragte: Löst der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas aus? Die Antwort lautet nicht: Ja. Die Antwort lautet, dass die Frage nicht beantwortet werden kann: In einem chaotischen System ist der Beitrag einer bestimmten kleinen Störung zu einem bestimmten großen Ergebnis grundsätzlich nicht nachvollziehbar, da die Störung mit jeder anderen Störung auf eine Weise interagiert, die ohne genaue Kenntnis aller anderen Störungen nicht vorwärts berechnet werden kann.³

Die praktische Grenze der Wettervorhersage, die der Schmetterlingseffekt impliziert, ist allgemein anerkannt: Jenseits von etwa zwei Wochen nehmen die Unsicherheiten in jeder Wettervorhersage – egal wie gut das Modell aufgebaut ist und wie gut die Messungen sind – so stark zu, dass die Vorhersage im Wesentlichen keine Aussagekraft mehr hat. Dies ist keine bedingte Einschränkung der aktuellen Technologie. Es ist eine mathematische Konsequenz der Struktur der Atmosphäre. Verbesserungen bei der Modellauflösung und der Messung der Anfangsbedingungen haben diese Grenze nach außen verschoben (die Aussagekraft der Vorhersagen hat sich von einigen Tagen im Jahr 1987 auf derzeit etwa 10 Tage erhöht), doch die Grenze besteht und lässt sich bei globalen Wettervorhersagen nicht über etwa zwei Wochen hinaus verschieben, unabhängig von Verbesserungen bei den Modellen oder der Rechenleistung.

Die gleiche Mathematik gilt – mit unterschiedlichen Zeitkonstanten – für jedes andere chaotische System. Populationsdynamik in der Ökologie: Populationen von Raubtieren und Beutetieren können sich chaotisch entwickeln, wobei kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen zu äußerst unterschiedlichen langfristigen Verläufen führen. Wirtschaftssysteme: Kleine Störungen der Verbraucherstimmung, von Investitionsentscheidungen oder politischen Weichenstellungen können auf eine Weise zusammenwirken, die große aggregierte Unterschiede hervorruft, wodurch langfristige Wirtschaftsprognosen denselben grundlegenden Grenzen unterliegen wie Wettervorhersagen. Und der Verkehrsfluss: Das bekannte Phänomen der Phantomstaus – Staus, die ohne erkennbare äußere Ursache auftreten und sich entgegen der Fahrtrichtung rückwärts durch den Verkehr ausbreiten – ist eine Folge der chaotischen Dynamik eines dichten Fahrzeugstroms, in dem jedes Fahrzeug kleine, unabhängige Entscheidungen trifft, die in Wechselwirkung treten und kollektive Instabilität erzeugen.

Quantenunbestimmtheit: Zufälligkeit als Grundlage

Die Zufälligkeit, die die Quantenmechanik beschreibt, ist nicht bloß eine praktische Einschränkung bei der Messung. Sie ist, gemäß der am gründlichsten überprüften Theorie in der Geschichte der Physik, ein grundlegendes Merkmal der Realität. Das Elektron hat nicht gleichzeitig eine bestimmte Position und einen bestimmten Impuls – nicht, weil wir beide nicht gleichzeitig messen können, sondern weil der Quantenzustand des Elektrons nicht gleichzeitig bestimmte Werte für beide enthält. Das Heisenbergsche Unschärfeprinzip ist keine Aussage über Messstörungen. Es ist eine Aussage über die Struktur von Quantenzuständen: Je genauer ein Quantenzustand eine Observable festlegt, desto weniger genau kann er die konjugierte Observable festlegen.

Die philosophischen Implikationen davon werden seit den 1920er Jahren diskutiert, ohne dass ein Konsens erzielt wurde. Die Kopenhagener Deutung, die vor allem mit Niels Bohr in Verbindung gebracht wird, betrachtet den Quantenzustand als vollständige Beschreibung der Realität und akzeptiert, dass Messergebnisse wirklich zufällig und irreduzibel probabilistisch sind, ohne versteckte Variablen, die sie im Prinzip vorhersagbar machen könnten. Die Everett-Interpretation der vielen Welten umgeht die Zufälligkeit, indem sie postuliert, dass alle möglichen Ergebnisse in verschiedenen Zweigen einer universellen Wellenfunktion eintreten, sodass das Ergebnis aus der Perspektive eines beliebigen Zweigs zufällig erscheint, von außen betrachtet jedoch eine deterministische Entwicklung des Ganzen vorliegt. Die Pilotwellen-Theorie von de Broglie und Bohm bewahrt den Determinismus, indem sie verborgene Variablen postuliert, die die Teilchenbahnen lenken; diese verborgenen Variablen sind jedoch grundsätzlich nicht zugänglich. Bells Theorem, das 1964 bewiesen und seitdem mehrfach experimentell bestätigt wurde, besagt, dass keine Theorie, die sowohl die Lokalität (Ursachen können sich nicht schneller als Licht ausbreiten) als auch den Determinismus bewahrt, die Vorhersagen der Quantenmechanik reproduzieren kann.⁴ Unabhängig von der korrekten Interpretation der Quantenmechanik sind die Vorhersagen – die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Messergebnisse – dieselben, und diese Vorhersagen wurden mit außerordentlicher Präzision bestätigt. Die Zufälligkeit, wie auch immer sie letztlich interpretiert werden mag, ist real und auf der Ebene beobachtbarer Vorhersagen nicht reduzierbar.

Die praktischen Konsequenzen der Quanten-Zufälligkeit auf makroskopischer Ebene sind in der Regel vernachlässigbar: Die Quantenunsicherheit ist im Vergleich zu den Größenordnungen alltäglicher Objekte so gering, dass sie bei der Vorhersage ihres Verhaltens keine direkte Rolle spielt. Es gibt jedoch bestimmte Umstände, unter denen sich die Quanten-Zufälligkeit auf makroskopische Skalen ausbreitet und praktische Bedeutung erlangt. Der radioaktive Zerfall, der quantenmechanischen Ursprungs ist, erzeugt echte Zufälligkeit im zeitlichen Ablauf von Kernereignissen, die für die Kerntechnik und die medizinische Physik von direkter Relevanz ist. Quanteneffekte in biologischen Systemen, einschließlich der Möglichkeit, dass bestimmte Aspekte der Photosynthese, der Navigation von Vögeln und des Geruchssinns die Quantenkohärenz nutzen, sind ein aktives Forschungsgebiet. Und die bedeutendste Konsequenz: In einem chaotischen System bildet die Quantenunsicherheit eine Untergrenze für die Unsicherheit der Anfangsbedingungen, die prinzipiell nicht unter die Heisenberg-Grenze gesenkt werden kann. Das bedeutet, dass chaotische Systeme doppelt unvorhersehbar sind: ungewiss in ihren Anfangsbedingungen aufgrund der Quantenunbestimmtheit und exponentiell empfindlich gegenüber diesen Unsicherheiten aufgrund des Chaos.

Der „Schwarze Schwan“: das Unvorhersehbare von außerhalb des Modells

Es gibt eine dritte Ursache für das Versagen von Vorhersagen, die sich sowohl vom Chaos als auch von der Zufälligkeit unterscheidet und die Nassim Nicholas Taleb in seiner Darstellung der „Schwarze-Schwan“-Ereignisse benannt und analysiert hat:⁵ das Ereignis, das außerhalb des Modells liegt – nicht, weil das Modell innerhalb seines Anwendungsbereichs falsch ist, sondern weil das Ereignis gänzlich von außerhalb dieses Bereichs stammt.

Ein Finanzrisikomodell, das auf der historischen Volatilität liquider Märkte basiert, sagt eine Liquiditätskrise (ein Ereignis, bei dem sich Käufer und Verkäufer gleichzeitig aus einem Markt zurückziehen, wodurch es unmöglich wird, überhaupt einen Preis zu bestimmen) nicht voraus, da Liquiditätskrisen nicht Teil der statistischen Verteilung sind, auf deren Grundlage das Modell geschätzt wurde. Das Modell wurde anhand von Daten aus Zeiträumen geschätzt, in denen die Märkte normal funktionierten. Die Liquiditätskrise ist genau der Zustand, unter dem Märkte aufhören zu funktionieren, und sie ist daher der Zustand, der am systematischsten aus den Daten ausgeschlossen wird, auf deren Grundlage Modelle kalibriert werden.

Der „Schwarze Schwan“ ist weder zufällig im quantenphysikalischen Sinne noch chaotisch im Sinne von Lorenz. Er ist etwas anderes: ein Ereignis, das das Modell nicht abbilden kann – nicht aufgrund einer Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen, sondern weil das Modell keine Kategorie dafür besitzt. Der „schwarze Schwan“ ist das „Unbekannte Unbekannte“ aus Artikel S1-204, angewandt auf die quantitative Modellierung: keine messbare Unsicherheit innerhalb des Modellrahmens, sondern ein Ereignis, das vollständig außerhalb dieses Rahmens liegt. Die Vorhersage des Modells für ein „schwarzer Schwan“-Ereignis ist nicht falsch. Sie fehlt gänzlich: Das Ereignis befindet sich nicht im Stichprobenraum des Modells, und das Modell kann ihm daher überhaupt keine Wahrscheinlichkeit zuweisen.

Diese dritte Ursache für Vorhersagefehler ist in gewisser Weise die folgenreichste, da sie am wenigsten sichtbar ist. Chaotische Unvorhersehbarkeit ist zumindest als Unvorhersehbarkeit erkennbar: Der Prognosehorizont ist bekannt, die Unsicherheit nimmt auf abschätzbare Weise zu, und die Nutzer der Prognose wissen, dass diese ab einem bestimmten Punkt unzuverlässig wird. Quanten-Zufälligkeit ist als irreduzible Wahrscheinlichkeitsverteilung erkennbar: Die Theorie sagt uns genau, wie wahrscheinlich jedes Ergebnis ist, und die Zufälligkeit ist daher quantifiziert und kommunizierbar. Der „Schwarze Schwan“ ist aus der Perspektive des Modells unsichtbar: Von innen betrachtet gibt es kein Signal dafür, dass sich ein Ereignis außerhalb des Modellbereichs nähert, da das Modell keine Darstellung der Bereichsgrenze enthält.

Was die Grenzen der Vorhersage für „The Conscious Look“ bedeuten

Die Existenz echter, irreduzibler Grenzen der Vorhersage – bedingt durch Quanten-Zufälligkeit, Chaos und „schwarze Schwäne“ – hat spezifische und wichtige Implikationen für die in dieser Reihe empfohlene Praxis.

Die erste Konsequenz ist, dass Unsicherheit nicht immer durch mehr Informationen reduzierbar ist. Das Wetter jenseits von zwei Wochen ist nicht deshalb unvorhersehbar, weil uns Daten fehlen, sondern weil das System chaotisch ist. Der konkrete Ausgang eines Quantenereignisses ist nicht deshalb unvorhersehbar, weil uns eine Theorie fehlt, sondern weil die Theorie uns sagt, dass es keine Tatsache gibt, die wir darüber wissen können. Der „schwarze Schwan“ ist nicht deshalb unvorhersehbar, weil wir es versäumt haben, die relevanten Daten zu sammeln, sondern weil die relevanten Daten aus einem Bereich stammen, den das Modell nicht abbildet. In jedem Fall besteht die angemessene Reaktion auf die Ungewissheit nicht in der Forderung nach mehr Informationen – was die Ungewissheit ohnehin nicht verringern würde –, sondern darin, Entscheidungen auf die verbleibende, nicht reduzierbare Ungewissheit abzustimmen. Entscheidungen, die die Ungewissheit des Wetters jenseits von zwei Wochen nicht tolerieren können, sollten nicht auf der Grundlage von Wettervorhersagen getroffen werden, die über zwei Wochen hinausreichen. Entscheidungen, die „Black Swan“-Ereignisse nicht tolerieren können, sollten so strukturiert sein, dass sie die Umkehrbarkeit und Redundanz aufweisen, die das Überstehen solcher Ereignisse ermöglichen.

Die zweite Implikation besteht darin, dass das in den Vorhersagen eines Modells zum Ausdruck gebrachte Vertrauen die Quelle der Unsicherheit widerspiegeln sollte. Eine Wettervorhersage für morgen ist äußerst zuverlässig: Die Atmosphäre ist chaotisch, aber der Vorhersagehorizont ist kurz genug, dass das exponentielle Anwachsen der Unsicherheit die Vorhersagegenauigkeit noch nicht vernachlässigbar gemacht hat. Eine 10-Tage-Vorhersage ist deutlich weniger zuverlässig. Eine 20-Tage-Vorhersage hat im Wesentlichen keine Aussagekraft. Die Quelle der Unsicherheit – das Chaos – impliziert eine spezifische Struktur des Vertrauens, das man in Vorhersagen mit unterschiedlichen Zeithorizonten setzen sollte. In ähnlicher Weise kann ein Finanzmodell, das die Wahrscheinlichkeit eines Verlusts innerhalb des historischen Bereichs der Marktbedingungen schätzt, innerhalb dieses Bereichs höchst zuverlässig sein, während es hinsichtlich Verlusten, die außerhalb des historischen Bereichs liegen – dem Bereich der „Black Swans“ –, keinerlei Aussagekraft besitzt. Das Vertrauen in das Modell sollte als bedingt durch den Verbleib innerhalb seines Kalibrierungsbereichs ausgedrückt werden, und die Wahrscheinlichkeit, diesen Bereich zu verlassen – die Wahrscheinlichkeit eines „Schwarzen Schwans“ – ist genau das, was das Modell nicht abschätzen kann.

Die dritte Schlussfolgerung lautet, dass manche Fragen nicht mit Modellen beantwortet werden sollten. Der Meteorologe, der eine 20-Tage-Wettervorhersage liefert, gibt keine nützliche Vorhersage ab. Er vermittelt ein falsches Gefühl der Gewissheit, das schädlicher sein kann als eingestandene Unwissenheit. Der Finanzanalyst, der eine Wahrscheinlichkeitsschätzung für ein Ereignis liefert, das in den historischen Daten noch nie aufgetreten ist, gibt eine Zahl an, die keinen sinnvollen Bezug zur tatsächlichen Wahrscheinlichkeit hat. Die angemessene Reaktion auf Fragen, die außerhalb der Vorhersagemöglichkeiten verfügbarer Modelle liegen, besteht nicht darin, das Modell über seinen gültigen Bereich hinaus auszudehnen. Sie besteht darin, die Grenze anzuerkennen und die Entscheidung entsprechend zu strukturieren – mit der notwendigen Demut angesichts der irreduziblen Unsicherheit, die die Mathematik des Chaos, der Zufälligkeit und der „schwarzen Schwäne“ erfordert.

Die Welt ist nicht vollständig vorhersagbar. Sie ist aus Gründen nicht vollständig vorhersagbar, die mittlerweile gut verstanden sind: die Quantenstruktur der Materie, die chaotische Dynamik komplexer Systeme und die Existenz von Ereignissen, die außerhalb des Gültigkeitsbereichs jedes Modells liegen. Das Verständnis dieser Gründe ist kein Anlass, hinsichtlich des Wissens zu verzweifeln. Es ist die Voraussetzung dafür, ehrlich mit Wissen umzugehen: zu wissen, welche Fragen Modelle beantworten können und welche nicht, und Entscheidungen mit der angemessenen Zuversicht zu treffen, die der tatsächliche Stand des Wissens rechtfertigt.

Weiterführende Literatur

James Gleicks Chaos: Making a New Science (1987) ist die lesbarste Darstellung der Entdeckung und Entwicklung der Chaostheorie, die es gibt. Das Buch verfolgt Lorenz’ erste Beobachtung bis hin zur mathematischen Weiterentwicklung der Theorie durch eine Reihe von Forschern verschiedener Disziplinen und vermittelt sowohl die intellektuelle Faszination der Entdeckung als auch ihre praktischen Implikationen. Es erfordert keine mathematischen Vorkenntnisse und hat nichts von seiner Aktualität verloren.

Nassim Nicholas Talebs The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable (2007) bietet die fundierteste verfügbare Analyse der dritten Ursache für Fehlprognosen – nämlich des Ereignisses, das außerhalb des Modellbereichs liegt – sowie ihrer Konsequenzen für das Risikomanagement, die Finanzmodellierung und die Entscheidungsfindung unter echter Unsicherheit. Taleb ist polemisch und manchmal ungenau, doch das Kernargument ist wichtig und wird mit ungewöhnlicher Kraft vorgebracht.

David Deutschs The Fabric of Reality (1997) bietet die philosophisch fundierteste Auseinandersetzung mit der Everett’schen Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik – jener Interpretation, die den Determinismus durch die Annahme eines sich verzweigenden Universums bewahrt – sowie mit deren Implikationen für das Wesen von Wissen und Erklärung. Das Buch ist anspruchsvoll, aber lohnenswert.

Roger Penroses The Emperor’s New Mind (1989) vertritt die umstrittene These, dass Quanten-Zufälligkeit eine spezifische und wichtige Rolle bei der Entstehung des Bewusstseins spielt und dass diese Rolle impliziert, dass bestimmte Aspekte des menschlichen Denkens nicht berechenbar sind. Die These ist umstritten, doch die Darstellung der Quantenmechanik und ihrer philosophischen Implikationen ist maßgeblich.

Was die konkreten praktischen Auswirkungen der Chaostheorie auf die Wettervorhersage betrifft, so stellt Tim Palmers Arbeit zur Ensemble-Vorhersage – bei der Unsicherheiten in der Wettervorhersage durch eine Sammlung von Vorhersagen aus leicht unterschiedlichen Anfangsbedingungen dargestellt werden – die am besten zugängliche technische Entwicklung dar, wie die operative Wettervorhersage die Erkenntnisse der Chaostheorie integriert hat. Eine gute Einführung bietet Palmer, T. N. (2000). „Predicting uncertainty in forecasts of weather and climate“. Reports on Progress in Physics, 63(2), 71–116.

Anmerkungen

¹ Die Behauptung, dass Quanten-Zufälligkeit irreduzibel ist – dass keine Theorie verborgener Variablen den Determinismus auf Quantenebene wiederherstellen könnte –, lässt sich genauer wie folgt formulieren: Bells Theorem (1964) beweist, dass keine Theorie lokaler verborgener Variablen die statistischen Vorhersagen der Quantenmechanik reproduzieren kann. Experimente von Aspect und Kollegen im Jahr 1982 sowie von vielen nachfolgenden Forschungsgruppen in zunehmend lückenlosen Versuchsanordnungen haben die quantenmechanischen Vorhersagen bestätigt und Theorien lokaler verborgener Variablen ausgeschlossen. Nichtlokale Theorien mit versteckten Variablen (wie die Pilotwellentheorie von de Broglie und Bohm) können die quantenmechanischen Vorhersagen deterministisch reproduzieren, erfordern jedoch nichtlokale Einflüsse, d. h. Korrelationen zwischen weit entfernten Ereignissen, die zwar nicht zur Signalübertragung genutzt werden können, aber dennoch gegen den Grundsatz der Lokalität verstoßen. Die praktische Schlussfolgerung, dass Quanten-Zufälligkeit nicht durch mehr Informationen über das System reduziert werden kann, gilt für alle Interpretationen der Quantenmechanik, da sich alle Interpretationen hinsichtlich der statistischen Vorhersagen einig sind.

² Die mathematische Definition von Chaos erfordert drei Eigenschaften: Determinismus (der zukünftige Zustand ist eine Funktion des aktuellen Zustands), Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen (nahegelegene Trajektorien divergieren exponentiell) und topologische Vermischung (das System lässt sich nicht in nicht-wechselwirkende Teilsysteme zerlegen). Die Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen wird durch den Lyapunov-Exponenten gemessen, die durchschnittliche Rate der exponentiellen Divergenz nahegelegener Trajektorien. Ein positiver Lyapunov-Exponent ist das Kennzeichen chaotischen Verhaltens, und seine Größe bestimmt den Vorhersagehorizont: die Zeit, nach der die Unsicherheit einer Vorhersage auf die Größe des Attraktors (die typische Skala des Systemverhaltens) angewachsen ist. Für die Atmosphäre impliziert der Lyapunov-Exponent einen Vorhersagehorizont von etwa zwei Wochen. Lorenz, E. N. (1963). Deterministischer nichtperiodischer Fluss. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130–141.

³ Die Metapher des Schmetterlingseffekts stammt aus dem Titel eines Vortrags, den Lorenz 1972 vor der American Association for the Advancement of Science in Washington hielt: „Vorhersagbarkeit: Löst der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas aus?“ Der Titel wurde vom Sitzungsvorsitzenden Philip Merilees vorgeschlagen, und Lorenz übernahm ihn als anschaulichen Ausdruck für die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen, die seine mathematischen Arbeiten nachgewiesen hatten. Die Originalveröffentlichung ist zu finden unter: Lorenz, E. N. (1972). Vorhersagbarkeit: Löst das Flügelschlagen eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas aus? Vortrag vor der American Association for the Advancement of Science. Die Metapher wird manchmal fälschlicherweise so interpretiert, als würde sie behaupten, dass bestimmte Flügelschläge eines Schmetterlings bestimmte Tornados verursachen – eine kausale Behauptung, die durch die Mathematik nicht gestützt wird. Die korrekte Interpretation lautet, dass selbst so kleine Unterschiede wie der Flügelschlag eines Schmetterlings den Zustand der Atmosphäre grundsätzlich so stark verändern können, dass sich ein anderes langfristiges Ergebnis ergibt; welches spezifische Ergebnis jedoch eine bestimmte Störung hervorruft, lässt sich selbst nicht vorhersagen.

⁴ Bell, J. S. (1964). Über das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon. Physics, 1(3), 195–200. Bells Theorem ist eines der wichtigsten Ergebnisse der Physik des 20. Jahrhunderts. Das 1935 formulierte Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon argumentierte, dass, wenn die Quantenmechanik vollständig ist (wenn es keine verborgenen Variablen gibt), Messungen an verschränkten Teilchen sofortige Korrelationen über beliebige Entfernungen hinweg aufweisen müssen – eine Schlussfolgerung, die Einstein als inakzeptabel empfand („spukhafte Fernwirkung“). Bell zeigte, dass sich die Vorhersagen jeder Theorie mit lokalen versteckten Variablen in einer experimentell überprüfbaren Weise von den Vorhersagen der Quantenmechanik unterscheiden – den Bell-Ungleichungen –, und dass die experimentellen Tests durchweg die quantenmechanischen Vorhersagen bestätigt und die Bell-Ungleichungen verletzt haben. Die Tests mit den wenigsten Schlupflöchern werden in Hensen, B. et al. (2015) beschrieben. Lückenlose Verletzung der Bell-Ungleichungen unter Verwendung von Elektronenspins, die 1,3 Kilometer voneinander entfernt sind. Nature, 526(7575), 682–686.

⁵ Taleb, N. N. (2007). Der Schwarze Schwan: Die Auswirkungen des höchst Unwahrscheinlichen. Random House. Talebs Kernargument lautet, dass Menschen und menschliche Institutionen die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die außerhalb ihrer historischen Erfahrung liegen, systematisch unterschätzen, da sie die Welt anhand statistischer Verteilungen modellieren, die aus historischen Daten geschätzt werden – und historische Daten per Definition Ereignisse ausschließen, die noch nicht eingetreten sind. Sein Hauptkritikpunkt richtet sich gegen das Vertrauen der Finanzrisikomanagement-Fachwelt in Value-at-Risk-Modelle (VaR), die auf der Grundlage historischer Marktdaten geschätzt werden; seine Argumentation gilt jedoch gleichermaßen für jedes Modell, das anhand von Daten aus einem begrenzten Bereich kalibriert und anschließend zur Bewertung von Risiken herangezogen wird, die Ereignisse außerhalb dieses Bereichs umfassen. Der Talebs Argumentation zugrunde liegende mathematische Rahmen – die Extremwerttheorie und die Unterscheidung zwischen Verteilungen mit schmalen und dicken Schwänzen – wird in Mandelbrot, B., und Hudson, R. L. (2004). The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence. Basic Books, technisch ausführlicher behandelt.