S1-304 – Mathematik: Die Sprache, die nicht lügt

Was sie nicht sagen kann

Im Jahr 1960 veröffentlichte der Physiker Eugene Wigner einen Aufsatz mit einem Titel, der zu einem der meistzitierten in der Wissenschaftsphilosophie geworden ist: „Die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften“. Wigners Rätsel war echt und wurde in den 65 Jahren, seit er es aufgeworfen hat, noch nicht gelöst. Warum sollten sich die abstrakten Strukturen, die Mathematiker entwickeln (oft aus rein ästhetischen Gründen, ohne eine konkrete Anwendung im Blick zu haben, als Antwort auf Probleme, die gänzlich mathematikintern zu sein scheinen), Jahrzehnte oder Jahrhunderte später als geeignet erweisen, die physikalische Welt mit außergewöhnlicher Präzision zu beschreiben? Die komplexen Zahlen, die erfunden wurden, um algebraische Gleichungen ohne reelle Lösungen zu lösen, erwiesen sich als die natürliche Sprache der Quantenmechanik. Die nicht-euklidischen Geometrien, die Riemann im 19. Jahrhundert als rein theoretische Erforschung dessen entwickelte, wie Geometrie aussehen könnte, wenn der Raum gekrümmt wäre, erwiesen sich als genau die Geometrie, die Einstein zur Beschreibung der Schwerkraft benötigte. Die Gruppentheorie, die Mathematiker zur Untersuchung abstrakter Symmetrien entwickelten, beschrieb die Symmetrien von Elementarteilchen mit einer Präzision, die zu den am genauesten überprüften Vorhersagen in der Geschichte der Wissenschaft geführt hat.

Wigners Rätsel ist nicht bloß eine interessante Kuriosität über die Beziehung zwischen Mathematik und Physik. Es weist auf etwas Grundlegendes über das Wesen der Mathematik als Sprache hin: darauf, was für ein Werkzeug sie ist, was sie leisten kann, was keine andere menschliche Sprache vermag, und was sie überhaupt nicht leisten kann. Mit diesen Fragen befasst sich dieser Artikel.

Erfunden oder entdeckt?

Wigners Rätsel schärft eine Frage, die älter ist als sein Aufsatz, eine Frage, die nachdenkliche Mathematiker und Philosophen nach wie vor spaltet und für die es keine Lösung zu geben scheint: Wenn ein Mathematiker zu einem neuen Ergebnis gelangt, ist es dann erfunden oder entdeckt? Hat der Mathematiker es geschaffen, so wie ein Komponist eine Symphonie komponiert, oder hat er es gefunden, so wie ein Entdecker eine Küstenlinie findet, die schon immer da war? Nichts in der täglichen Praxis der Mathematik entscheidet diese Frage, denn die Erfahrung lässt sich auf beide Lesarten anwenden. Ein Beweis fühlt sich beim Aufbau wie eine Konstruktion an und wie eine Entdeckung, sobald er steht. Doch die beiden Antworten deuten auf sehr unterschiedliche Vorstellungen davon hin, was Mathematik ist, und die Wirksamkeit, über die Wigner staunte, sieht je nachdem, welche Ansicht richtig ist, vollkommen anders aus.

Auf der einen Seite steht die Entdeckungs-Sichtweise, oft als mathematischer Platonismus bezeichnet, die davon ausgeht, dass mathematische Objekte und Wahrheiten unabhängig vom menschlichen Geist existieren und dass Mathematiker sie eher finden als erschaffen. Die Primzahlen waren schon unendlich zahlreich, bevor jemand dies bewies, und würden es auch bleiben, wenn alle Mathematiker verschwinden würden. G. H. Hardy brachte diese Position klar auf den Punkt: Die mathematische Realität liegt außerhalb von uns, und die Theoreme, die wir großspurig als unsere Schöpfungen bezeichnen, sind nur unsere Notizen zu dem, was wir beobachtet haben. ¹ Diese Sichtweise hat echte Überzeugungskraft. Ergebnisse wirken unvermeidlich und stehen nicht zur Abstimmung; Mathematiker, die auf verschiedenen Kontinenten arbeiten, gelangen zu demselben Satz; und Wigners „Effektivität“ ist genau das, was man erwarten würde, wenn das Universum in seinem Kern mathematisch wäre und Mathematik das Entziffern seiner tatsächlichen Struktur wäre. Gödel vertrat eine Variante dieser Sichtweise, ebenso wie Roger Penrose, für den die mathematische Welt ebenso real ist wie die physikalische und nicht weniger seltsam.

Auf der anderen Seite steht die erfindungsbezogene Sichtweise, die davon ausgeht, dass Mathematik ein menschliches Konstrukt ist, das außerhalb der Köpfe und Kulturen, die es erschaffen, keine Existenz hat, und sie tritt in verschiedenen Formen auf. Der Formalist behandelt Mathematik als ein Spiel mit Symbolen nach festgelegten Regeln, das nur in dem Sinne wahr ist, wie ein Schachzug regelkonform ist. Der Fiktionalist vertritt nach Hartry Fields Version die Auffassung, dass Zahlen nicht mehr existieren als die Figuren in einem Roman und Mathematik eine nützliche Fiktion ist, auf die wir im Prinzip verzichten könnten. Die Kognitionswissenschaftler George Lakoff und Rafael Núñez argumentieren, dass Mathematik aus dem menschlichen Körper und Gehirn hervorgeht und sich durch Metaphern aus unseren Erfahrungen mit Bewegung, Gruppierung und Zählen aufbaut, sodass sie durch und durch ein menschliches Schöpfungsprodukt ist. ² Aus dieser Sicht verliert Wigners Rätsel an Schärfe, denn wenn wir die Mathematik von vornherein aus der physikalischen Welt ableiten, ist es kein Wunder, dass sie zu dieser Welt passt, wenn wir sie wieder auf sie anwenden.

Dazwischen liegt eine Position, die viele praktizierende Mathematiker als die ehrlichste empfinden, und es lohnt sich, sie zu erwähnen, da sie einen Teil des Streits auflöst. Wir erfinden die Objekte und die Regeln, aber wir entdecken ihre Konsequenzen. Nichts hat uns gezwungen, die Primzahlen zu definieren; dieses Konzept ist eine menschliche Entscheidung, ein Stück Notation und Definition, das wir vielleicht nie hätten entwickeln können. Aber sobald Primzahlen definiert sind, ist die Tatsache, dass es unendlich viele davon gibt, nichts, worüber irgendjemand entscheiden könnte. Es war wahr, bevor es bewiesen wurde, und hätte gar nicht anders sein können. Nach dieser Lesart ist die Mathematik eine erfundene Sprache, deren Sätze – sobald ihre Grammatik festgelegt ist – als wahr oder falsch erkannt werden, anstatt dass sie dazu gemacht werden. Die Karte wird von uns gezeichnet; das Gebiet, das sie dann erschließt, wird es nicht.

Dieses letzte Bild ist der Grund, warum die Frage überhaupt in diese Reihe gehört, und hier ist der Rahmen unser eigener und nicht eine feststehende Philosophie. Die Debatte um „erfunden“ oder „entdeckt“ ist die Karte und das Gebiet in ihrer reinsten und schwierigsten Form. Überall sonst auf diesen Seiten ist die Karte ganz klar unser Konstrukt und das Gebiet ganz klar die Welt, und die Disziplin besteht darin, sie nicht zu verwechseln. Die Mathematik ist der einzige Ort, an dem die Karte so genau zum Gebiet passt, dass niemand mit Sicherheit sagen kann, ob wir sie gezeichnet oder gefunden haben, und Wigners „unvernünftige Wirksamkeit“ ist einfach das Gefühl, das diese perfekte Übereinstimmung von innen heraus vermittelt. Diese Reihe bezieht in dieser Auseinandersetzung, die nach wie vor wirklich offen ist, keine Partei. Sie stellt lediglich fest, dass die Mathematik der Ort ist, an dem die zentrale Frage des gesamten Projekts – wie viel von dem, was wir wissen, die Welt ist und wie viel eine eigene Zeichnung des Geistes – am schönsten und am wenigsten zu beantworten ist.³

Was die Mathematik gewinnt: Präzision, Universalität, Falsifizierbarkeit

Der offensichtlichste Vorteil der Mathematik als Sprache zur Beschreibung der Welt ist die Präzision. Eine mathematische Aussage bedeutet genau das, was sie sagt, in dem Sinne, dass ihre Wahrheitsbedingungen vollständig durch ihre formale Struktur festgelegt sind und keiner Interpretation bedürfen. „Die Bevölkerung wuchs“ ist ein Satz in natürlicher Sprache. Er kann bedeuten, dass sie um eine Person oder um eine Milliarde wuchs, langsam oder schnell, kontinuierlich oder sprunghaft, über ein Jahr oder über ein Jahrhundert hinweg. „P(t) = P₀ · eʳᵗ“ ist eine mathematische Aussage. Sie bedeutet genau eines: dass die Bevölkerung zum Zeitpunkt t gleich der Anfangsbevölkerung multipliziert mit dem Exponentialwert des Produkts aus Wachstumsrate und Zeit ist. Die mathematische Aussage ist eindeutig, und es gibt keinen Spielraum dafür, dass der Gesprächspartner sie anders versteht als der Sprecher. Die Präzision ist absolut.

Diese Präzision macht mathematische Aussagen in dem Sinne einzigartig falsifizierbar, wie Popper es als Kennzeichen echter empirischer Behauptungen identifiziert hat. Eine Aussage in natürlicher Sprache wie „Die Wirtschaft wächst“ lässt sich durch fast jede Beobachtung bestätigen und durch fast keine widerlegen, da die Unbestimmtheit der Aussage sie mit fast jedem Sachverhalt vereinbar macht. Eine mathematische Aussage wie „Die Wirtschaft wird im nächsten Quartal um 2,3 Prozent wachsen“ ist in einem spezifischen und eindeutigen Sinne falsifizierbar: Entweder trifft sie zu oder nicht, und die Abweichung zwischen der Vorhersage und dem Ergebnis lässt sich exakt messen. Die Präzision, die die mathematische Aussage weniger poetisch macht als die Aussage in natürlicher Sprache, ist dieselbe Präzision, die sie informativer macht: Sie ist eher in der Lage, falsch zu sein, und daher eher in der Lage, sich wirklich mit der Welt auseinanderzusetzen.

Die Präzision der mathematischen Sprache bringt eine weitere Eigenschaft mit sich, die für jeden, der in den Naturwissenschaften gearbeitet hat, besonders deutlich wird: eine außergewöhnliche Verdichtung des Inhalts, an die sich die natürliche Sprache nicht heranreicht. Maxwells vier Gleichungen des Elektromagnetismus (die in moderner Vektornotation eine einzige Zeile einnehmen) enthalten das gesamte Verhalten aller elektrischen und magnetischen Felder in Raum und Zeit, die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung einschließlich des Lichts, die Funktionsweise jedes seit dem 19. Jahrhundert gebauten elektrischen Geräts sowie die Beziehung zwischen Elektrizität und Magnetismus, deren Nachweis zwei Jahrhunderte experimenteller Arbeit erforderte. ⁴ Eine Beschreibung in natürlicher Sprache dessen, was diese vier Gleichungen enthalten, würde ganze Bände füllen und wäre dennoch weniger präzise als die Gleichungen selbst. Die Verdichtung ist keine Abkürzung von etwas, das sich in Worten ausdrücken ließe. Es handelt sich um eine vollkommen andere Art von Aussage: eine, die in einer einzigen Zeile das erreicht, was die natürliche Sprache in keiner noch so langen Formulierung erreichen kann.

Diese Verdichtung ist nicht bloß praktisch. Sie ist der Grund dafür, dass die Mathematik als gemeinsame Sprache in den MINT-Fächern (Naturwissenschaften, Ingenieurwesen und Technik) fungiert, unabhängig von den Landessprachen der dort tätigen Menschen. Ein Physiker in Deutschland, ein Chemiker in Japan und ein Ingenieur in Brasilien sprechen zwar keine gemeinsame Sprache, aber sie teilen die Gleichungen. Die Gleichungen bedürfen keiner Übersetzung, da die Notation die Bedeutung ist. Dies ist eine Form der Universalität, die tiefer geht als die kulturelle Universalität beispielsweise einer Lingua franca: Es geht nicht nur darum, dass sich alle darauf geeinigt haben, dieselben Wörter zu verwenden, sondern dass die Wörter selbst denselben Inhalt tragen, unabhängig davon, wer sie liest oder wo. Die Gleichung F = ma bedeutet in jedem Labor der Welt und in jeder Veröffentlichung in jeder Sprache, in der sie erscheint, dasselbe Kräfteverhältnis. Die natürliche Sprache kennt kein Äquivalent. Selbst die sorgfältigste Aussage in natürlicher Sprache verändert sich bei der Übersetzung geringfügig, da sich die Assoziationen, Konnotationen und impliziten Annahmen von Wörtern je nach Sprache und Kultur unterscheiden. Die mathematische Aussage lässt sich nicht übersetzen. Sie ist einfach.

Der zweite Vorteil ist die Universalität. Eine mathematische Wahrheit gilt in gleicher Weise, unabhängig von der Sprache, in der sie ausgedrückt wird, der Kultur, in der sie entwickelt wurde, oder dem jeweiligen Betrachter, der sie untersucht. Der Satz des Pythagoras auf Arabisch, Japanisch und Englisch derselbe Satz. Die Mandelbrot-Menge ist dieselbe Menge, unabhängig davon, wer sie berechnet oder wo. Diese Universalität ist keine triviale Eigenschaft. Sie bedeutet, dass mathematisches Wissen – im Gegensatz zu den meisten anderen Bereichen menschlichen Wissens – im wahrsten Sinne des Wortes kumulativ ist: Mathematische Ergebnisse, die vor Jahrhunderten bewiesen wurden, bleiben gültig, und jede nachfolgende Entwicklung kann darauf aufbauen, ohne ihre Grundlagen erneut zu überprüfen. Die Sätze von Euklid sind nach wie vor wahr. Die Ergebnisse von Newtons Infinitesimalrechnung, in eine strenge moderne Form übertragen, sind nach wie vor gültig. In der Mathematik gibt es keine Paradigmenwechsel im Kuhnschen Sinne: Es gibt Erweiterungen, Verallgemeinerungen und Entdeckungen, aber es kommt nicht routinemäßig vor, dass sich zuvor Etabliertes als falsch herausstellt.⁵

Der dritte Vorteil ist die Fähigkeit zu langen Schlussfolgerungsketten. Das logische Denken in natürlicher Sprache verschlechtert sich mit zunehmender Länge der Argumentation: Nach mehreren Schlussfolgerungsschritten häufen sich die Mehrdeutigkeiten der Begriffe der natürlichen Sprache an, die impliziten Annahmen vermehren sich, und die Schlussfolgerung kann weit von dem entfernt sein, was die Prämissen tatsächlich stützen. Mathematisches Denken verliert auf diese Weise nicht an Qualität, da die formale Präzision jedes Schritts die Anhäufung von Mehrdeutigkeiten beseitigt, unter der Argumente in natürlicher Sprache leiden. Deshalb ist die Mathematik die einzige Sprache, mit der sich präzise Aussagen über Entitäten (subatomare Teilchen, ferne Galaxien, das Verhalten von Systemen unter extremen Bedingungen) treffen lassen, die Menschen nie direkt beobachtet haben und nicht direkt beobachten können und deren Eigenschaften ausschließlich durch Schlussfolgerungen bekannt sind.

Übertragung ohne Rekonstruktion

Aus dieser Universalität ergibt sich eine Konsequenz, die auf einen zuvor in diesem Kapitel dargelegten Punkt zurückgeht. Gewöhnliche Kommunikation ist, wie in Artikel S1-302 dargelegt, nicht wirklich eine Übertragung, sondern eine Rekonstruktion: Ein Satz ist eine komprimierte Reihe von Hinweisen, und der Zuhörer baut daraus mithilfe von Material, das sich bereits in seinem eigenen Kopf befindet, ein Modell wieder auf; daher ist das Bild, das ankommt, nie ganz das Bild, das gesendet wurde, und zwei Menschen verstehen einander nur in dem Maße, wie sie sich zuvor bereits ähnlich waren. Das rekonstruierte Modell ist immer bis zu einem gewissen Grad privat. Das Modell des einen ist nicht das des anderen.

Die Mathematik ist der einzige Bereich, in dem dies zugunsten des Senders nicht gilt. Der formale Inhalt einer mathematischen Aussage ist durch Regeln festgelegt und wird nicht aus privaten Assoziationen rekonstruiert. Wenn also die Notation korrekt gelesen wird, ist das Objekt, das im zweiten Geist ankommt, im Prinzip genau dasselbe Objekt, das den ersten verlassen hat. Es gibt für den Empfänger keinen Spielraum, die Lücken mit seinen eigenen Vorannahmen zu füllen, da der Formalismus keine Lücken zum Füllen hinterlässt. F = ma wird im Kopf jedes Lesers nicht zu einer leicht abweichenden Beziehung, so wie eine Zeile aus einem Gedicht zu einem leicht abweichenden Bild wird. Die Gleichung ist kein Anhaltspunkt, der rekonstruiert werden muss; sie ist das Ding an sich, und jeder kompetente Leser gelangt zu derselben Struktur, da die Regeln keine andere zulassen. Das ist es, was es bedeutet, wenn man – wie im vorigen Abschnitt – sagt, dass die Notation die Bedeutung ist: Mathematik kommt einem echten Modelltransfer – im Gegensatz zur Modellrekonstruktion – am nächsten.

Sie hebt das Gesetz von S1-302 jedoch nicht auf, sondern erfüllt es vielmehr auf die extremstmögliche Weise. Kommunikation konvergiert nur in dem Maße zu einem gemeinsamen Modell, wie sich die beiden Köpfe bereits ähnelten, und die Mathematik treibt diese Ähnlichkeit einfach bis an ihre Grenze, indem sie die gemeinsame Grundlage explizit und vollständig macht. Zwei Menschen können einen Satz ohne Verlust austauschen, nur weil beide zuvor Jahre damit verbracht haben, ausgehend von denselben Axiomen, Definitionen und Schlussregeln einen identischen Bestand an formalen Werkzeugen aufzubauen. Diese Konvergenz ist nicht umsonst. Sie wird im Voraus erkauft – durch eine Ausbildung, die beiden Köpfen dasselbe Modell einprägt, noch bevor die erste Botschaft überhaupt gesendet wird. Und selbst dann wird nur das formale Gerüst unverändert übertragen. Was sich jeder Mathematiker beim Lesen des Satzes vorstellt, warum es ihm schön oder offensichtlich oder tiefgründig erscheint, womit es in Verbindung steht und wozu es dient, wird auf die altbekannte private Weise rekonstruiert und bleibt sein Eigen. Der Beweis wird exakt geteilt; das Verständnis davon jedoch nicht. Die Mathematik überwindet das Rekonstruktionsproblem für jene eine Bedeutungsebene, die vollständig formalisiert werden kann, und lässt jede andere Ebene genau dort, wo S1-302 sie vorgefunden hat.

Was die Mathematik verliert: Qualia, Kontext, Bedeutung

Die Präzision der Mathematik wird mit einem spezifischen und erheblichen Preis erkauft. Eine mathematische Beschreibung eines Phänomens ist eine Beschreibung, die nur das umfasst, was formal dargestellt werden kann: das, was sich in Form von Größen, Beziehungen, Funktionen und Strukturen ausdrücken lässt, die präzise mathematische Definitionen haben. Alles andere wird ausgeschlossen.

Man stelle sich vor, was eine vollständige mathematische Beschreibung eines Musikstücks enthalten würde. Sie würde die Frequenzen der Schallwellen, ihre Amplituden, ihre Dauer, ihr zeitliches Verhältnis zueinander und ihre Ausbreitung durch die akustische Umgebung des Konzertsaals umfassen. Sie würde im Prinzip alle Informationen enthalten, die erforderlich sind, um das physikalische Ereignis präzise wiederzugeben. Was sie nicht enthalten würde, sind Angaben darüber, was die Musik bedeutet, wie es sich anfühlt, sie zu hören, welche emotionale Reaktion sie beim Zuhörer hervorruft oder warum eine bestimmte Passage auf eine Weise bewegt, wie es eine leicht abgewandelte Anordnung derselben Tonhöhen nicht täte. Diese Eigenschaften sind in der mathematischen Beschreibung nicht vorhanden – nicht, weil sie unwichtig sind (sie sind wohl die wichtigsten Eigenschaften der Musik, der Grund für ihre Existenz), sondern weil sie sich einer präzisen formalen Darstellung widersetzen, wie sie die Mathematik erfordert. Sie sind, in Nagels Worten aus dem Artikel S1-503, der subjektive Charakter der Erfahrung: wie es sich anfühlt, die Musik zu hören – was keine noch so ausführliche objektive mathematische Beschreibung erfassen kann.

Dies ist kein Versagen der Mathematik. Es ist ein strukturelles Merkmal dessen, was Mathematik ausmacht: eine Sprache, die auf Präzision und Universalität ausgelegt ist, was bedeutet, dass sie nur mit dem arbeiten kann, was präzise und universell definiert werden kann. Der Philosoph Iain McGilchrist, dessen Darstellung des geteilten Gehirns sich durch diese gesamte Reihe zieht, beschreibt die Mathematik als das paradigmatische Werkzeug der linken Gehirnhälfte: Sie erreicht ihre außergewöhnliche Präzision und Leistungsfähigkeit, indem sie vom Kontext abstrahiert, das Nicht-Formalisierbare ignoriert und die Welt als eine Ansammlung von Größen und Beziehungen behandelt, statt als ein Feld von Bedeutungen, Werten und gelebter Erfahrung.⁶ Die Abstraktion ist keine Verzerrung: Sie ist die Voraussetzung für die Präzision. Aber es ist eine Abstraktion. Und das, was abstrahiert wird, hört nicht auf zu existieren, nur weil die Mathematik es nicht darstellen kann.

Die Kosten der Abstraktion werden besonders in den Sozialwissenschaften deutlich, wo mathematische Modelle auf Phänomene (menschliches Verhalten, soziale Dynamiken, wirtschaftliche Aktivität) angewendet werden, die subjektive und kontextuelle Dimensionen aufweisen, die sich einer Formalisierung entziehen. Das Modell des rationalen Wirtschaftsmenschen (homo economicus), das einem Großteil der formalen Ökonomie zugrunde liegt, ist ein mathematisches Konstrukt: vollkommen rational, umfassend informiert, in seinen Präferenzen konsistent und eine genau definierte Nutzenfunktion maximierend. Dieses mathematische Konstrukt verfügt über Eigenschaften, die es als Modellierungsinstrument außerordentlich handhabbar machen: Die Mathematik seines Verhaltens ist elegant, seine Reaktionen auf Preisänderungen sind berechenbar, sein aggregiertes Verhalten auf Märkten lässt sich aus ersten Prinzipien ableiten. Was es jedoch nicht ist, ist ein Modell tatsächlicher Menschen, die inkonsistent rational sind, nur begrenzt informiert, Emotionen und sozialem Druck unterliegen und deren Verhalten sich systematisch von den Vorhersagen des mathematischen Modells unterscheidet – und zwar auf eine Weise, die selbst systematisch und vorhersehbar ist, wie die Literatur zur Verhaltensökonomie ausführlich dokumentiert hat.⁷ Die Präzision des mathematischen Modells ist real. Diese Präzision wird jedoch dadurch erkauft, dass jene Merkmale menschlichen Verhaltens ausgeschlossen werden, die es sowohl interessant als auch wichtig machen.

Die Karte und die Zahl

Es gibt eine bestimmte Art des Scheiterns bei der mathematischen Modellierung, die es wert ist, namentlich genannt zu werden, gerade weil sie im öffentlichen Diskurs so häufig vorkommt: die Verwechslung der Präzision einer Zahl mit der Genauigkeit einer Messung. Wenn eine Größe als Zahl ausgedrückt wird (die Arbeitslosenquote beträgt 6,7 Prozent, die BIP-Wachstumsrate 2,3 Prozent, die Inflationsrate 4,1 Prozent), impliziert die Genauigkeit der Zahl eine Aussage über die Genauigkeit der zugrunde liegenden Messung, die die Zahl nicht immer rechtfertigt.

Die Erwerbslosenquote wird beispielsweise als einzelner Prozentsatz ausgedrückt. Die Genauigkeit der Angabe (nicht „etwa 7 Prozent“, sondern „6,7 Prozent“) impliziert eine Messung, die auf eine Dezimalstelle genau ist. Doch die Erwerbslosenquote ist ein Konstrukt, keine Messung: Als erwerbslos gelten nur Personen, die nicht erwerbstätig sind, aktiv nach Arbeit suchen und in dem spezifischen Bezugszeitraum, den die Definition vorgibt, nach Arbeit gesucht haben. Ausgeschlossen sind Personen, die die Arbeitssuche aufgegeben haben, unterbeschäftigte Personen, Personen, die in der informellen Wirtschaft tätig sind, sowie Personen, deren Beschäftigungsstatus unklar ist. Die Zahl 6,7 Prozent ist präzise. Was sie misst, ist eine spezifische und umstrittene Operationalisierung des Begriffs der Erwerbslosigkeit, die einen Großteil dessen ausschließt, was im allgemeinen Sprachgebrauch unter diesem Begriff verstanden wird. Die Präzision des Ausdrucks ist ein Merkmal der Mathematik. Die Genauigkeit der Messung ist ein Merkmal der Definition, und die Definition ist eine Entscheidung, keine Entdeckung.⁸

Dies ist die Unterscheidung zwischen Karte und Gebiet aus Artikel S1-203, angewandt auf numerische Größen. Die Zahl ist die Karte. Die Präzision der Karte ist nicht dasselbe wie die Genauigkeit, mit der die Karte das Gebiet abbildet. Eine hochpräzise Karte (die Entfernungen auf den Millimeter genau angibt) ist keine genauere Karte als eine weniger präzise, wenn die Präzision im Millimeterbereich auf Entfernungen angewendet wird, die auf zehn Meter genau gemessen wurden. Die Präzision eines mathematischen Ausdrucks ist eine Eigenschaft des Ausdrucks. Die Genauigkeit des Ausdrucks als Darstellung der Welt ist eine Eigenschaft der Beziehung zwischen dem Ausdruck und dem, was er ausdrückt. Dies sind unterschiedliche Eigenschaften, und sie zu verwechseln (indem man präzise numerische Ausdrücke so behandelt, als ob die Präzision des Ausdrucks die Genauigkeit der Messung mit sich brächte) ist einer der am weitesten verbreiteten Fehler beim Gebrauch der mathematischen Sprache im öffentlichen Diskurs.

Die häufigste Form dieses Fehlers ist zugleich die mechanischste, und sie tritt in dem Moment auf, in dem eine Zahl von einem Taschenrechner oder aus einer Tabellenkalkulationszelle abgeschrieben wird. Das Gerät gibt so viele Ziffern aus, wie seine Anzeige fassen kann, ohne Rücksicht darauf, wie genau die eingegebenen Größen bekannt waren. Multipliziert man zwei Längen, die jeweils auf den Zentimeter genau abgelesen wurden, liefert der Bildschirm ein Produkt mit acht Dezimalstellen; dividiert man fast beliebige Zahlen durch fast beliebige andere Zahlen, erscheint eine lange Ziffernfolge. Jeder, der eine naturwissenschaftliche Ausbildung genossen hat, lernt früh und nachhaltig, ein solches Ergebnis auf die Genauigkeit zurückzuführen, die die Eingaben tatsächlich rechtfertigen, denn ein berechnetes Ergebnis kann nicht genauer sein als die Messungen, auf denen es basiert. Die überzähligen Ziffern sind keine Informationen. Sie sind ein Artefakt der Arithmetik. Jemand ohne diese Ausbildung neigt dazu, die Zahl so aufzuschreiben, wie die Maschine sie ausgegeben hat – jede Ziffer intakt –, und jede überzählige Ziffer ist eine Behauptung über die Welt, die durch keine Messung jemals gestützt wurde.

Deshalb ergibt sich aus dem Durchschnitt einer Handvoll ganzzahliger Bewertungen ein Wert von 4,3333333 von 5, und deshalb werden drei von sieben Personen zu 42,857 Prozent. Die Genauigkeit wurde durch die Division erzeugt, sie ist nicht in den Daten enthalten, und im zweiten Fall wird sie aus einer Stichprobe abgeleitet, die so klein ist, dass die tatsächliche Unsicherheit im zweistelligen Prozentbereich liegt. Im Sinne dieser Serie ist jede geschriebene Ziffer ein Strich auf der Karte, und ein Strich auf der Karte ist die Behauptung, dass das Gebiet so genau vermessen wurde. Eine Zahl auf mehr Stellen auszudehnen, als die Messung rechtfertigt, bedeutet, eine Küstenlinie millimetergenau anhand einer mit bloßem Auge durchgeführten Vermessung zu zeichnen und dann auf die feinen Details zu verweisen, als handele es sich um Wissen. Das Werkzeug verleitet jeden zu dieser kleinen Unehrlichkeit, und ihr zu widerstehen, eine Zahl auf die Stellen zurückzuschneiden, die man tatsächlich verdient hat, gehört zu den einfachsten Disziplinen, die der „bewusste Blick“ von jedem verlangt, der eine Zahl angibt.

Gödel und die Grenzen der Mathematik selbst

Das Ehrlichste, was man über die Mathematik als Sprache sagen kann, ist nicht nur, dass sie nicht alles sagen kann (dass ihre Präzision eine Abstraktion von Kontext und Bedeutung erfordert), sondern dass sie nicht einmal sich selbst vollständig beschreiben kann. Im Jahr 1931 veröffentlichte der österreichische Mathematiker Kurt Gödel ein Ergebnis, das die mathematische Gemeinschaft mehr überraschte und beunruhigte als jedes andere Ergebnis seit der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen: die Unvollständigkeitssätze.

Gödel bewies in zwei Theoremen von außerordentlicher technischer Tiefe, dass jedes konsistente formale System, das leistungsfähig genug ist, um grundlegende Arithmetik auszudrücken, wahre Aussagen enthalten muss, die innerhalb des Systems nicht bewiesen werden können, und dass die Konsistenz des Systems nicht aus dem System selbst heraus bewiesen werden kann. Das erste Theorem besagt, dass es, egal wie reichhaltig und leistungsfähig ein formales mathematisches System auch sein mag, immer mathematische Wahrheiten geben wird, die das System nicht beweisen kann. Der zweite besagt, dass kein System seine eigene Konsistenz begründen kann (also nicht beweisen kann, dass es niemals einen Widerspruch hervorbringen wird), wenn es sich ausschließlich auf die ihm zur Verfügung stehenden Mittel stützt. ⁹

Die Unvollständigkeitssätze lösten tatsächlich eine Krise aus, wenn auch eine spezifische und begrenzte. Was sie beendeten, war ein Traum: David Hilberts Programm, aus der Mathematik heraus und mit eindeutigen finiten Mitteln zu beweisen, dass eine vollständig formalisierte Mathematik sowohl vollständig als auch konsistent ist, sowie das parallele Bestreben von Whitehead und Russells Principia Mathematica, das gesamte Gebäude auf eine sich selbst sichernde logische Grundlage zu stellen. Nach Gödel und insbesondere nach seinem zweiten Satz, wonach ein System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann, konnte dieses Fundament nicht mehr gelegt werden, und mehrere der Mathematiker, die am intensivsten daran gearbeitet hatten, wandten ihre Energien anderen Bereichen zu; John von Neumann, der das Ergebnis in dem Moment begriff, als er Gödels Vortrag hörte, ist der prominenteste unter ihnen.¹⁰

Was die Unvollständigkeitstheorie nicht bewirkte, war eine Störung der alltäglichen mathematischen Praxis, die größtenteils genau wie zuvor weitergeht; als Grund wird üblicherweise angeführt, dass Gödels unbeweisbarer Satz etwas Künstliches sei, eine selbstreferenzielle Konstruktion, die im Grunde dazu geschaffen wurde, zu sagen: „Ich bin nicht beweisbar“, und nicht die Art von Aussage, auf die ein praktizierender Mathematiker trifft. Das glaubte man lange Zeit, und es stellt sich heraus, dass diese Sichtweise zu bequem ist. Natürliche mathematische Aussagen, solche, die aus sich selbst heraus entstehen und nicht als Falle eines Logikers dienen, haben sich seitdem als unabhängig von den Standardaxiomen erwiesen: der Satz von Paris-Harrington in der Kombinatorik, Goodsteins Satz über bestimmte Folgen von ganzen Zahlen, der zwar wahr, aber in der gewöhnlichen Arithmetik nicht beweisbar ist, sowie in der Mengenlehre die Kontinuumshypothese, von der Gödel und Paul Cohen gemeinsam zeigten, dass sie anhand der Standardaxiome weder bewiesen noch widerlegt werden kann.¹¹ Die Einschränkung ist nicht auf einen künstlich konstruierten Satz in einer Ecke beschränkt. Sie reicht bis in die gewöhnliche Mathematik hinein, auch wenn der gewöhnliche Mathematiker sich selten damit auseinandersetzen muss.

Gödels unentscheidbare Sätze sind darüber hinaus enge Verwandte eines Problems, auf das die Mathematik bereits gestoßen war und das sie nie wirklich gelöst hat. Bertrand Russell hatte zu Beginn des Jahrhunderts festgestellt, dass die naive Mengenlehre regelrecht Widersprüche hervorbringt: Man nehme die Menge aller Mengen, die nicht zu sich selbst gehören, und frage, ob sie zu sich selbst gehört – und jede der beiden möglichen Antworten widerlegt sich selbst. Die Reaktion der Disziplin auf Russells Paradoxon bestand nicht darin, es zu lösen, sondern es abzuschotten, und die Mengenlehre auf Axiomen neu aufzubauen. Das heute übliche System ist das von Zermelo und Fraenkel, das jene Konstruktionen, die den Widerspruch hervorrufen, schlichtweg verbietet. Das Fundament wurde nicht gegen das Paradoxon gesichert; es wurde davon abgegrenzt. Das sollte man der Beruhigung gegenüberstellen, dass die Unvollständigkeit nichts ändert, denn der Preis für eine Mathematik, die sich nicht selbst widerspricht, war eine Mathematik, die sich nicht selbst begründen kann, und beides sind Folgen derselben Erkenntnis darüber, was ein formales System mit sich selbst tun kann und was nicht.

Gödels Ergebnis ist in der Tat das erste von drei Ergebnissen, die innerhalb von fünf Jahren nacheinander entstanden sind und dieselbe Mauer von drei Seiten umschließen. Alfred Tarski bewies 1936, dass Wahrheit innerhalb einer formalen Sprache, die reich genug ist, um die Arithmetik zu enthalten, nicht konsistent definiert werden kann: Kein Prädikat innerhalb der Sprache kann genau für die wahren Sätze derselben Sprache gelten; um sozusagen von Wahrheit in einer Sprache zu sprechen, muss man zu einer darüber stehenden, stärkeren Sprache aufsteigen.¹² Dies untermauert eine zuvor in diesem Artikel aufgestellte Behauptung, anstatt ihr zu widersprechen. Dass die Wahrheitsbedingungen einer bestimmten mathematischen Aussage durch ihre formale Struktur festgelegt sind, ist richtig, Aussage für Aussage; was die Sprache jedoch nicht leisten kann, ist, innerhalb ihrer selbst den allgemeinen Begriff der Wahrheit zu definieren, der es ihr ermöglichen würde, alle ihre eigenen Aussagen auf einmal zu bestätigen. Im selben Jahr bewies Alan Turing, dass es kein einzelnes Verfahren gibt, das für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob die Berechnung jemals zum Stillstand kommt, sodass einige vollkommen wohlgestellte Fragen von keinem Algorithmus überhaupt beantwortet werden können.¹³ Beweisbarkeit nach Gödel, Wahrheit nach Tarski, Entscheidbarkeit nach Turing: drei Gesichter einer Grenze, nämlich dass ein formales System, das mächtig genug ist, um damit etwas Interessantes anstellen zu können (also nicht trivial ist), nicht alles über sich selbst vollständig beweisen, definieren oder entscheiden kann. Für den Leser dieser Reihe sind sie die tiefgründigste Form ihres eigenen Refrains, dass keine Karte das Gelände enthält, auf dem sie gezeichnet ist – zurückgeführt auf die genaueste Karte, die wir haben.

Nichts davon macht die Mathematik innerhalb ihres Fachgebiets weniger vertrauenswürdig. Es lässt die Mathematik ehrlich mit ihren Grenzen umgehen. Die präziseste, strengste und zuverlässigste Sprache, die den Menschen zur Verfügung steht, ist selbst ein Modell mit Grenzen: Sie kann ihre eigenen Grundlagen nicht vollständig beschreiben, ihre eigene Konsistenz nicht beweisen, nicht alle mathematischen Wahrheiten innerhalb eines einzigen formalen Systems erfassen und nicht einmal ihre eigene Wahrheit von innen heraus definieren. Die Mathematik bildet keine Ausnahme von dem Prinzip, das diese Reihe in jedem Bereich dokumentiert: Jedes Modell hat Grenzen, jede Karte lässt Gebiet unkartiert, und das Anerkennen dieser Grenzen ist der Anfang intellektueller Ehrlichkeit und nicht das Ende der Erforschung.

Dem Wigner-Rätsel (der unvernünftigen Wirksamkeit der Mathematik) steht daher ein komplementäres Rätsel gegenüber, das deutlich weniger Beachtung findet: die unvernünftige Unvollständigkeit der Mathematik. Die Sprache, die die physikalische Welt mit außergewöhnlicher Präzision beschreibt, kann sich selbst nicht vollständig beschreiben. Das Werkzeug, das das zuverlässigste Wissen hervorbringt, das den Menschen zur Verfügung steht, enthält Wahrheiten, die das Werkzeug selbst nicht beweisen kann. Das ist kein Paradoxon. Es ist die charakteristische Struktur leistungsfähiger Werkzeuge: Sie sind gerade deshalb am nützlichsten, weil sie begrenzt sind – weil sie sich auf einen bestimmten Anwendungsbereich festgelegt und darin außergewöhnliche Ergebnisse erzielt haben, auf Kosten dessen, dass andere Bereiche außerhalb ihrer Reichweite bleiben.

Der bewusste Blick, angewandt auf die mathematische Sprache

Der „bewusste Blick“, angewandt auf die Mathematik, erfordert die gleichzeitige Wahrnehmung zweier Aspekte, die angesichts von Gleichungen leicht aus den Augen verloren werden.

Der erste ist, dass mathematische Präzision wirklich wertvoll ist und sich wirklich von der Präzision unterscheidet, die in der natürlichen Sprache zur Verfügung steht. Wenn ein mathematisches Modell eine Vorhersage trifft, ist diese spezifisch, falsifizierbar und mit Beobachtungen vergleichbar – in einer Weise, wie es eine Aussage in natürlicher Sprache typischerweise nicht ist. Die Präzision der mathematischen Aussage ist ein echter Vorzug, nicht bloß eine stilistische Präferenz. Sie sollte ernst genommen werden, und den Vorhersagen gut konstruierter mathematischer Modelle sollte echtes Beweiskraftgewicht beigemessen werden.

Zweitens ist das Gebiet immer größer als die mathematische Karte. Die Phänomene, die die Mathematik nicht darstellen kann (das Subjektive, das Kontextuelle, das Sinnvolle, das Unausgesprochene), sind nicht weniger real, nur weil sie mathematisch nicht abbildbar sind. Sie liegen einfach außerhalb des Anwendungsbereichs des Werkzeugs. Und die Präzision der Ergebnisse des Werkzeugs innerhalb seines Anwendungsbereichs sollte nicht mit der Vollständigkeit seiner Abdeckung des Gebiets verwechselt werden. Das ökonomische Modell, das präzise Vorhersagen über das aggregierte Marktverhalten liefert, ist aus diesem Grund keine vollständige Darstellung der Wirtschaft. Das epidemiologische Modell, das präzise Vorhersagen über die Übertragungsraten von Krankheiten liefert, ist keine vollständige Darstellung der Epidemie, deren soziale, verhaltensbezogene und politische Dimensionen Rahmenbedingungen erfordern, die das mathematische Modell nicht einbezieht.

Dies ist die Anwendung des Kriteriums aus Artikel S1-102, die Grenzen zu kennen, auf den spezifischen Fall der mathematischen Sprache. Die Mathematik kennt ihren Anwendungsbereich, und die besten Praktiker der mathematischen Modellierung kennen ihn ebenfalls. Die Verwechslung von mathematischer Präzision mit vollständiger Erfassung ist nicht in erster Linie ein Versagen der Mathematiker. Es ist ein Versagen der Nutzer mathematischer Ergebnisse: der politischen Entscheidungsträger, Journalisten und Bürger, die die Ergebnisse mathematischer Modelle erhalten und die Präzision der Zahl als Beweis für die Genauigkeit und Vollständigkeit der Darstellung betrachten. Die Zahl 6,7 Prozent weiß, was sie misst. Die Frage, die es sich zu stellen lohnt, ist, ob das, was sie misst, auch das ist, was man wissen möchte.

Weiterführende Literatur

Eugene Wigners „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“, veröffentlicht 1960 in Communications on Pure and Applied Mathematics und online frei zugänglich, ist die ursprüngliche und nach wie vor zum Nachdenken anregendste Darstellung des Rätsels, das diesen Artikel motiviert. Der Text ist für jedermann lesbar und bleibt nach wie vor ungelöst.

Roger Penroses The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (2004) bietet die umfassendste verfügbare Auseinandersetzung mit der Beziehung zwischen Mathematik und physikalischer Realität: einschließlich einer ernsthaften Auseinandersetzung mit Gödels Theoremen, dem Wesen mathematischer Wahrheit und der Frage, warum das Universum in seinen Grundlagen mathematisch zu sein scheint. Das Buch ist anspruchsvoll (Penrose vereinfacht die Mathematik nicht), aber es ist die ehrlichste verfügbare Auseinandersetzung mit dem Thema für einen ernsthaften Laien.

Iain McGilchrists „The Master and His Emissary“ (2009) liefert den neurologischen und philosophischen Rahmen für das Verständnis der Mathematik als Werkzeug der linken Gehirnhälfte: was sie durch ihr Bekenntnis zu Präzision und Abstraktion erreicht und was sie systematisch übersieht. Es ist die unverzichtbare Ergänzung zu Wigners Darstellung.

Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: Ein ewiger goldener Zopf (1979) ist die berühmteste und zugänglichste Abhandlung über Gödels Unvollständigkeitssätze: Sie bettet diese in eine reichhaltige Betrachtung über Selbstreferenz, Bewusstsein und formale Systeme ein. Das Buch ist umfangreich, verspielt und lohnenswert; die mathematische Argumentation ist präzise, der begleitende Text ist inspirierend.

Für den spezifischen Fehler, bei dem numerische Präzision mit Messgenauigkeit verwechselt wird, bietet Joel Bests „Damned Lies and Statistics: Untangling Numbers from the Media, Politicians, and Activists“ (2001) die zugänglichste Darstellung, mit zahlreichen Beispielen aus dem öffentlichen Diskurs, die genau den Fehler veranschaulichen, den dieser Artikel beschreibt.

Anmerkungen

¹ G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology (Cambridge University Press, 1940), Abschnitte 22–23. Sein vollständiger Ausspruch: „Ich glaube, dass die mathematische Realität außerhalb von uns liegt, dass es unsere Aufgabe ist, sie zu entdecken oder zu beobachten, und dass die Sätze, die wir beweisen und die wir hochtrabend als unsere Schöpfungen bezeichnen, lediglich unsere Notizen zu unseren Beobachtungen sind.“ Hardy war ein mathematischer Platoniker, ebenso wie Gödel und – in einer gut ausgearbeiteten modernen Form – Roger Penrose (siehe The Road to Reality, oben zitiert), für den mathematische Objekte in einer realen Welt existieren, die sich sowohl von der physikalischen als auch von der mentalen Welt unterscheidet.

² Die anti-platonistische Schule ist groß und alt. Der mit David Hilbert verbundene Formalismus betrachtet die Mathematik als die Manipulation von Symbolen nach festgelegten Regeln; der mit L. E. J. Brouwer verbundene Intuitionismus betrachtet mathematische Objekte als mentale Konstruktionen, die erst nach ihrer Konstruktion existieren. Die fiktionalistische Position wird von Hartry Field in „Science Without Numbers: A Defence of Nominalism“ (Princeton University Press, 1980) dargelegt, in dem argumentiert wird, dass mathematische Objekte nicht existieren und die Mathematik, obwohl nützlich, streng genommen eine Fiktion ist. Das Modell der verkörperten Kognition wird von George Lakoff und Rafael Núñez in Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being (Basic Books, 2000) dargelegt, wobei sie mathematische Ideen auf Metaphern zurückführen, die in körperlicher Erfahrung begründet sind.

³ Für einen sorgfältigen und neutralen Überblick über die konkurrierenden Positionen siehe „Platonism in the Philosophy of Mathematics“, Stanford Encyclopedia of Philosophy. Die hier vorgestellte Sichtweise, dass die Frage nach Erfindung oder Entdeckung die Unterscheidung zwischen Karte und Territorium dieser Reihe in ihrer schärfsten Form darstellt, ist die eigene Interpretation des Artikels und keine Behauptung, dass eine der beiden Seiten gesiegt hat; die philosophische Frage bleibt ungelöst.

⁴ Die Maxwell-Gleichungen wurden erstmals von James Clerk Maxwell in einer weitaus umständlicheren Form in seiner Abhandlung „A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field“ aus dem Jahr 1865 formuliert, die viele Seiten umfasste und eine Notation verwendete, die 20 skalare Gleichungen benötigte, um das auszudrücken, was die moderne Vektornotation in vier Gleichungen erfasst. Die moderne kompakte Form unter Verwendung der Vektorrechnung wurde in den 1880er Jahren von Oliver Heaviside entwickelt. Die durch die Notation erzielte Verdichtung (von 20 Gleichungen auf vier) ohne jeglichen Verlust an physikalischem Inhalt ist selbst ein Beweis für die hier vorgebrachte These: Die mathematische Notation leistet Arbeit, sie hält diese nicht bloß fest. Die vier Gleichungen in ihrer modernen Form implizieren unter anderem, dass sich elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten – ein Ergebnis, das Maxwell selbst als Hinweis darauf erkannte, dass Licht ein elektromagnetisches Phänomen ist, eine der folgenreichsten Schlussfolgerungen in der Geschichte der Physik.

⁵ Die Behauptung, dass es in der Mathematik keine Paradigmenwechsel im Kuhnschen Sinne gibt, bedarf einer Einschränkung. Es gibt Episoden in der Geschichte der Mathematik, die in gewisser Hinsicht Paradigmenwechseln ähneln: die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien im 19. Jahrhundert, die zeigte, dass Euklids Parallelpostulat keine notwendige Wahrheit, sondern eine kontingente Annahme war, die konsequent widerlegt werden konnte; die Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoräer, die die Überarbeitung eines Rahmens erforderte, der alle Größen als durch Verhältnisse ganzer Zahlen ausdrückbar behandelt hatte; sowie die Fundamentalkrise zu Beginn des 20. Jahrhunderts, in der die Entdeckung von Paradoxa in der naiven Mengenlehre die Neukonstruktion der Mathematik auf strengeren axiomatischen Grundlagen erforderte. Was diese Episoden jedoch nicht beinhalten, ist die Entdeckung, dass zuvor etablierte Ergebnisse falsch waren. Sie beinhalten die Entdeckung, dass der Geltungsbereich zuvor etablierter Ergebnisse begrenzter war als angenommen oder dass die ihnen zugrunde liegenden Konzepte einer sorgfältigeren Formulierung bedurften. Die Ergebnisse selbst (richtig verstanden innerhalb ihres Anwendungsbereichs) blieben gültig.

⁶ McGilchrist, I. (2009). The Master and His Emissary: The Divided Brain and the Making of the Western World. Yale University Press. McGilchrists Betrachtung der Mathematik als Werkzeug der linken Gehirnhälfte wird im Rahmen einer umfassenderen Argumentation über die Folgen der Dominanz der linken Gehirnhälfte in der westlichen Kultur entwickelt: die fortschreitende Bevorzugung dessen, was präzise formalisiert werden kann, gegenüber dem, was ganzheitlich verstanden werden kann. Die These lautet nicht, dass Mathematik falsch oder schlecht sei, sondern dass ihre fortschreitende Ausweitung auf Bereiche, für die sie nicht konzipiert wurde (soziales Leben, künstlerische Erfahrung, moralisches Urteilsvermögen), charakteristische Verzerrungen hervorruft, die aus dem mathematischen Rahmen heraus nicht erkennbar sind.

⁷ Die Literatur der Verhaltensökonomie, die die systematischen Abweichungen des tatsächlichen menschlichen Verhaltens von den Vorhersagen des Modells des rationalen Akteurs dokumentiert, wird am verständlichsten in Kahneman, D. (2011). Thinking, Fast and Slow. Farrar, Straus and Giroux, sowie in Thaler, R. H., und Sunstein, C. R. (2008). Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness. Yale University Press. Das spezifische Versagen des Modells des rationalen Akteurs (seine Behandlung systematischer und vorhersehbarer Merkmale menschlichen Verhaltens als Anomalien statt als Primärdaten, die das Modell eigentlich erklären sollte) ist Gegenstand des Artikels S1-404 dieser Reihe im Rahmen einer umfassenderen Diskussion darüber, was mathematische Modelle sozialer Systeme übersehen.

⁸ Die Erstellung wirtschaftlicher Statistiken (und die darin enthaltenen umstrittenen Definitionsentscheidungen) wird eingehend in Morten Jervens Poor Numbers: How We Are Misled by African Development Statistics and What to Do about It (2013) untersucht, das die konkreten Definitionsentscheidungen dokumentiert, aus denen sich die BIP-Zahlen für Entwicklungsländer ergeben, sowie die sehr großen Fehlermargen, die diese Entscheidungen mit sich bringen. Der allgemeinere Punkt (dass die Genauigkeit einer statistischen Darstellung eine Funktion der an den Daten durchgeführten mathematischen Operationen ist und nicht von der Genauigkeit der zugrunde liegenden Messung) gilt für alle statistischen Messgrößen, einschließlich derer der anspruchsvollsten nationalen Statistikämter.

⁹ Gödel, K. (1931). „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173–198. Gödels Aufsatz ist fachlich anspruchsvoll und setzt Kenntnisse in mathematischer Logik voraus. Die für ein allgemeines Publikum am besten zugängliche Abhandlung in Buchlänge ist nach wie vor Hofstadter, D. R. (1979). Gödel, Escher, Bach: Ein ewiger goldener Zopf. Basic Books. Die spezifische philosophische Interpretation der Unvollständigkeitssätze (was sie über das Wesen der mathematischen Wahrheit, die Grenzen formaler Systeme und das Verhältnis zwischen Beweisbarkeit und Wahrheit aussagen) ist selbst umstritten. Die in diesem Artikel gegebene Interpretation, wonach die Sätze zeigen, dass die Mathematik wahre Aussagen enthält, die kein gegebenes formales System beweisen kann, folgt der gängigen philosophischen Lesart und reicht für die Zwecke dieses Artikels aus, obwohl die technisch präzisere Aussage lautet, dass es in jedem konsistenten formalen System, das mächtig genug ist, um die Arithmetik auszudrücken, Aussagen gibt, die innerhalb des Systems weder beweisbar noch widerlegbar sind, und dass die Konsistenz des Systems äquivalent zu einer solchen Aussage ist.

¹⁰ Hilberts Programm, das in den 1920er Jahren aufgelegt wurde, zielte darauf ab, die gesamte Mathematik abzusichern, indem mit eindeutigen finitären Mitteln bewiesen werden sollte, dass eine vollständig formalisierte Mathematik sowohl vollständig (jede Wahrheit beweisbar) als auch konsistent (kein Widerspruch ableitbar) ist; Whiteheads und Russells Principia Mathematica (1910–1913) war der parallele logizistische Versuch, die Mathematik auf einer sicheren Grundlage aus der Logik abzuleiten. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz, wonach ein hinreichend starkes, konsistentes System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann, ist genau das, was das Programm erforderte und nicht haben kann. John von Neumann, der im Rahmen des Programms gearbeitet hatte und die Bedeutung des Satzes sofort erkannte, als er 1930 Gödels Vortrag hörte, wandte sich danach vor allem anderen Gebieten zu; er ist das am häufigsten zitierte Beispiel für einen Grundlagenforscher, der durch das Ergebnis eine neue Richtung einschlug.

¹¹ Dass sich die unabhängigen Aussagen nicht auf künstliche selbstreferenzielle Konstruktionen beschränken, wurde später nachgewiesen. Der Satz von Paris-Harrington (Jeff Paris und Leo Harrington, 1977) ist eine verallgemeinerte endliche Ramsey-Aussage, die in der Kombinatorik naheliegend ist und in der Peano-Arithmetik zwar wahr, aber unbeweisbar ist. Goodsteins Satz (R. L. Goodstein, 1944), eine elementare Aussage über Folgen von ganzen Zahlen, wurde von Laurie Kirby und Jeff Paris (1982) ebenfalls als in der Peano-Arithmetik unbeweisbar gezeigt. In der Mengenlehre wurde die Kontinuumshypothese von Gödel (1940) als konsistent mit den Zermelo-Fraenkel-Axiomen und von Paul Cohen (1963) als unabhängig von diesen gezeigt, sodass sie aus diesen Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Dabei handelt es sich um gewöhnliche mathematische Aussagen, nicht um Konstrukte der Logiker.

¹² Alfred Tarski, „Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen“, Studia Philosophica 1 (1936): 261–405. Tarskis Unbestimmbarkeitssatz: Für eine formale Sprache, die in der Lage ist, ihre eigene Syntax und grundlegende Arithmetik auszudrücken, gilt kein innerhalb der Sprache definierbares Prädikat genau für die wahren Sätze dieser Sprache; daher muss ein konsistentes Wahrheitsprädikat für eine Sprache in einer stärkeren Metasprache gegeben sein. Das Ergebnis steht in engem Zusammenhang mit Gödels Paradoxon und dem antiken Lügner-Paradoxon.

¹³ Alan M. Turing, „On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem“, Proceedings of the London Mathematical Society, Serie 2, 42 (1936): 230–265. Turing formalisierte die Berechnung mittels der abstrakten Maschine, die heute seinen Namen trägt, und bewies die Unlösbarkeit des Halteproblems, woraus sich die Unentscheidbarkeit von Hilberts Entscheidungsproblem ergibt – also die Forderung nach einem allgemeinen Entscheidungsverfahren für die Gültigkeit erster Ordnung. Alonzo Church hatte im selben Jahr etwas früher auf anderem Wege zu einem äquivalenten Ergebnis gelangt.